20．已知f（n）=$\frac{2n}{n+2}$，若數(shù)列{an}滿足a1=$\frac{1}{2}$，an=f（an-1）（n≥2），求證{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列．

分析 化簡an=f（an-1）=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，從而證明．

解答 證明：∵an=f（an-1）=$\frac{2{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{2}$（n≥2），
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$（n≥2），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡運(yùn)算能力及整體思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin（$\frac{π}{3}$-C）+cos（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求角C；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)O滿足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|，求$\overrightarrow{CO}$•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）的取值范圍．

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11．已知在△ABC中，AB=3，AC=7，點(diǎn)P在AC上，且PB=PC，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=20．

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8．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a2=4，且a1，a3，a17成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$，若數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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15．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…為等比數(shù)列，公比為qn．

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5．已知A（1，-1），B（3，0），C（2，4）三點(diǎn)，求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．比較下列各組數(shù)的大小
（1）0.80.5與0.90.4；
（2）40.9，80.48，（$\frac{1}{2}$）-1.5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），對(duì)于定義域內(nèi)任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅰ）求$f（1），f（a）+f（{\frac{1}{a}}）$的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅲ）求滿足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（cosx，sinx），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（3）當(dāng)x∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

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