已知函數(shù)f(x)=
x2+2x+ax
，x∈[1，+∞）
（1）若f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
分析：（1）將f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，轉化為x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解，構造函數(shù)g（x）=x2+2x+a，由g（1）≤0即可求得a的取值范圍；
（2）設1≤x1＜x2，作差f（x1）-f（x2）=
(x1-x2)(x1
x
2
 
-a)
x1x2
，根據(jù)題意可得a≤1．
解答：解：（1）f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，即
x2+2x+a
x
=0在[1，+∞）上有解，等價于x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解，…3′
令g（x）=x2+2x+a，則g（x）=（x+1）2+a-1的對稱軸為x=-1，
∴當g（1）≤0時，g（x）=（x+1）2+a-1的圖象在[1，+∞）上與x軸有一個交點，即x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解．
由g（1）≤0得3+a≤0，即a≤-3…．（6分）
（2）設1≤x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=
x12+2x1+a
x1
-
x22+2
x
 
2
+a
x2

=
(x1-x2)(x1
x
 
2
-a)
x1x2
…（9分）
∵f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，可得x1x2＞a，而x1x2＞1，
∴a≤1…（12分）
點評：本題考查二次函數(shù)的性質，將f（x）=0在x∈[1，+∞）上有解，轉化為x2+2x+a=0在[1，+∞）上有解是關鍵，突出考查分類討論思想與轉化思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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