Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，且AD=AB=2BC=2a．
（1）在棱PA上是否存在點E，使PC∥面EBD，若存在，求出E點位置，并證明．
（2）當PA=3a時，求二面角B-PC-A大小的余弦值．

Answer 1

解：（1）在棱PA上存在點E，使PC∥面EBD，其中AE=2EP．證明如下：
設(shè)AC∩BD=O，連接EO．
∵BC∥AD，∴=2，
∵，∴EO∥PC．
∵EO?平面EBD，PC?平面EBD．
∴PC∥平面EBD．
（2）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，a，0），P（0，0，3a）．
∴=（（0，a，0），=（（2a，a，-3a），=（0，0，3a）．
設(shè)平面PBC的法向量為=（x₁，y₁，z₁），
則，即，則y₁=0，令x₁=3，
得z₁=2，∴．
設(shè)平面PAC的法向量為，
則，即，則z₃=0，令x₂=1，得y₂=-2，∴．
則===．
∴二面角B-PC-A大小的余弦值為．
分析：（1）利用平行線分線段成比例定理、線面平行的判定定理即可證明；
（2）通過結(jié)論空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量所成的夾角即可求出二面角的余弦值．
點評：熟練掌握平行線分線段成比例定理、線面平行的判定定理、通過結(jié)論空間直角坐標系利用兩個平面的法向量所成的夾角求出二面角的余弦值是解題的關(guān)鍵．