【題目】如圖,已知四棱錐的底面為矩形,D為的中點(diǎn),AC⊥平面BCC1B1.
(Ⅰ)證明:AB//平面CDB1;
(Ⅱ)若AC=BC=1,BB1=,
(1)求BD的長(zhǎng);
(2)求B1D與平面ABB1所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ) (1),(2).
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用中位線定理得出DE//AB,即可證得;
(Ⅱ)(1)在中,利用勾股定理運(yùn)算即可;
(2)以C為原點(diǎn),CB所在的直線為x軸、CC1為y軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量求解線面角即可.
試題解析:
(Ⅰ)證明:連結(jié)交于E,連結(jié)DE,
∵D、E分別為和的中點(diǎn),
∴DE//AB,
又∵平面, 平面,
∴AB//平面CDB1;
(Ⅱ)(1)∵AC⊥平面BCC1B1, 平面,
∴,
又∵, ,
∴平面,
∵平面,
∴,
在,∵BC=1, ,
∴;
【注:以上加灰色底紋的條件不寫(xiě)不扣分!】
(2)依題意知AC、BC、CC1兩兩互相垂直,以C為原點(diǎn),CB所在的直線為x軸、CC1為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,
易得, ,
, ,
故,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
由得令得,
設(shè)與平面所成的角為,則 ,
即與平面所成的角的正弦值為.
【其它解法請(qǐng)參照給分,如先用體積法求出點(diǎn)D到平面ABB1的距離,(10分)再用公式算與平面所成角的正弦值(12分)】
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為,則將數(shù)列和的距離定義為.
(1)求數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離.
(2)記為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合,數(shù)列和為中的兩個(gè)元素,且項(xiàng)數(shù)均為.若, ,數(shù)列和的距離小于2016,求的最大值.
(3)記是所有7項(xiàng)數(shù)列(其中, 或)的集合, ,且中的任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3.求證: 中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第二季)亮點(diǎn)頗多,十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開(kāi)場(chǎng)詩(shī)詞,在聲光舞美的配合下,百人團(tuán)齊聲朗誦,別有韻味.若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩(shī)詞排在后六場(chǎng),且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后,則后六場(chǎng)的排法有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,給出四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù);
②函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸是;
③函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是;
④函數(shù)的遞增區(qū)間為.則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且點(diǎn)到直線的距離為, 與的公共弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直角梯形中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱中, 分別是和的中點(diǎn).
(1)求證: 平面
(2)若平面平面,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇于今年5月14日至15日在北京舉行.為高標(biāo)準(zhǔn)完成高峰論壇會(huì)議期間的志愿服務(wù)工作,將從27所北京高校招募大學(xué)生志愿者,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從是否有意愿做志愿者在某高校訪問(wèn)了80人,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表:(,表示丟失的數(shù)據(jù))
無(wú)意愿 | 有意愿 | 總計(jì) | |
男 | 40 | ||
女 | 5 | ||
總計(jì) | 25 | 80 |
(1)求出的值,并判斷:能否有99.9%的把握認(rèn)為有意愿做志愿者與性別有關(guān);
(2)若表中無(wú)意愿做志愿者的5個(gè)女同學(xué)中,3個(gè)是大學(xué)三年級(jí)同學(xué),2個(gè)是大學(xué)四年級(jí)同學(xué).現(xiàn)從這5個(gè)同學(xué)中隨機(jī)選2同學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查,求這2個(gè)同學(xué)是同年級(jí)的概率.
附參考公式及數(shù)據(jù): ,其中.
0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市英才中學(xué)的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組,在對(duì)中學(xué)生的良好“光盤(pán)習(xí)慣”的調(diào)查中,隨機(jī)發(fā)放了120份問(wèn)卷,對(duì)收回的120份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下列聯(lián)表:
做不到光盤(pán) | 能做到光盤(pán) | 合計(jì) | |
男 | 45 | 10 | 55 |
女 | 30 | 15 | 45 |
合計(jì) | 75 | 25 | 100 |
(1)現(xiàn)已按是否能做到光盤(pán)分層從45份女生問(wèn)卷中抽取9份問(wèn)卷,若從這9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取4份,并記其中能做到光盤(pán)的問(wèn)卷的份數(shù)為,試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)如果認(rèn)為良好“光盤(pán)習(xí)慣”與性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò),那么根據(jù)臨界值表最精確的的值應(yīng)為多少?請(qǐng)說(shuō)明理由.
附:獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,其中.
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表:
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