Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-

x2

2

-ax-1，（其中a∈R．無理數(shù)e=2.71828…）
（Ⅰ）若a=-

1

2

時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x≥

1

2

時，若關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，試求a的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式，可得切線方程；
（Ⅱ）由f（x）≥0，分離參數(shù)可得a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，確定右邊所對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，求出其最小值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）a=-

1

2

時，函數(shù)f（x）=e^x-

x2

2

+

1

2

x-1，求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=e^x-x+

1

2

∴f′（1）=e-

1

2

，f（1）=e-1
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（e-1）=（e-

1

2

）（x-1），即（e-

1

2

）x-y-

1

2

=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得ax≤e^x-

1

2

x²-1，因?yàn)閤≥

1

2

，所以a≤

ex- 1 2 x2-1

x

．
令g（x）=

ex- 1 2 x2-1

x

，則g′（x）=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

．
令h（x）=e^x（x-1）-

1

2

x²+1，所以h′（x）=x（e^x-1）．
因?yàn)閤≥

1

2

，所以h′（x）＞0，所以h（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)增
所以h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

1

2

e

＞0
所以g′（x）＞0
∴g（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)增
∴g（x）≥g（

1

2

）=2

e

-

9

4

∴a≤2

e

-

9

4

∴a的最大值為2

e

-

9

4

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．