Question

（2012•長寧區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前n項和，且滿足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

an

-

1

an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）若對任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用

a

2 n

=S2n-1，n取1或2，可求數(shù)列的首項與公差，從人體可得數(shù)列的通項，進而可求數(shù)列的和；
（2）分類討論，分離參數(shù)，求出對應函數(shù)的最值，即可求得結論．

解答：解：（1）∵

a

2 1

=S1=a1，a₁≠0，∴a₁=1．…．（1分）
∵

a

2 2

=S3=a1+a2+a3，∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，
當d=-1時，a₂=0不滿足條件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，∴bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，∴Tn=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．…．（6分）
（2）當n為偶數(shù)時，λ•

2n

2n+1

＜n+8，∴λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

1

2

(2n+

8

n

+17)，
∵2n+

8

n

≥8，當n=2時等號成立，∴

1

2

(2n+

8

n

+17)最小值為

25

2

，
因此λ＜

25

2

．                      …．（9分）
當n為奇數(shù)時，λ＜

(2n+1)(n-8)

2n

=

1

2

(2n-

8

n

-15)，
∵2n-

8

n

在n≥1時單調遞增，∴n=1時

1

2

(2n-

8

n

-15)的最小值為-

21

2

，∴λ＜-

21

2

．           …．（12分）
綜上，λ＜-

21

2

．               …．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，解題的關鍵是分類討論，分離參數(shù)，屬于中檔題．