Question

 

如圖，已知橢圓的離心率

為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)

為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為，一等軸雙曲線

的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于項(xiàng)點(diǎn)

的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為A、

B和C、D.

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：；

   （Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

  

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

   （II）設(shè)點(diǎn)

所以在雙曲線上，

所以有

所以

   （III）假設(shè)存在常數(shù)，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立，則由（II）知

，所以設(shè)直線AB的方程為

則直線CD的方程為

由方程組

設(shè)

所以，同理可得

    又因?yàn)閨AB|+|CD|=|AB|·|CD|，所以有

   【命題意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其中問(wèn)題（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。