Question

12．設(shè)函數(shù) f（x）=（x-a）ⁿ，其中n=6$\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx，\frac{{{f^'}（0）}}{f（0）}}$=-3，則f（x）的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 先利用定積分求出n的值，再對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，由此求出a的值，利用賦值法求出f（x）展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和．

解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6（sin$\frac{π}{2}$-sin0）=6，
∴f（x）=（x-a）⁶，
∴f′（x）=6（x-a）⁵，
∴f′（0）=-6a⁵，
f（0）=a⁶，
∴$\frac{f′（0）}{f（0）}$=$\frac{-{6a}^{5}}{{a}^{6}}$=$\frac{-6}{a}$=-3，
解得a=2；
∴f（x）=（x-2）⁶的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為：
（1-2）⁶=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求定積分，利用賦值法求二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．