Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x²+x-a）．
（1）若f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（2，+∞），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+log

1

2

x的定義域是（0，+∞），值域?yàn)閇1，+∞），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f(x)=log2(x2+x-a)定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（2，+∞）得：不等式x²+x-a＞0的解集為（-∞，-3）∪（2，+∞），所以x²+x-a=0的根為-3，2，由韋達(dá)定理得a=6；
（2）先由函數(shù)g(x)=f(x)+log

1

2

x的定義域是（0，+∞），轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，求得a≤0．在由g(x)=log2

x2+x-a

x

值域?yàn)閇1，+∞）得t=

x2+x-a

x

(x＞0)的最小值為2，由此求a≤0時(shí)

解答： 解：（1）由題意知：x²+x-a＞0的解集為（-∞，-3）∪（2，+∞），
所以x²+x-a=0的根為-3，2，
由韋達(dá)定理得a=6．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)+log

1

2

x的定義域是（0，+∞），
所以x²+x-a＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
即a＜x²+x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≤0
又g(x)=f(x)+log

1

2

x=log2(x2+x-a)+log

1

2

x=log2

x2+x-a

x

g（x）值域?yàn)閇1，+∞）
令t=

x2+x-a

x

(x＞0)，
由題意知，t=

x2+x-a

x

(x＞0)的最小值為2，
因?yàn)?span id="wpywm33" class="MathJye">t=

x2+x-a

x

(x＞0)=x+

-a

x

+1
所以當(dāng)a=0時(shí)，t=x+1＞1，無最小值，
故a=0不成立，
當(dāng)a＜0時(shí)，x=

-a

時(shí)，tmin=2

-a

+1，
所以：2

-a+1

=2，
即a=-

1

4

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用換元，構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化求解，考察了多種數(shù)學(xué)思想，難度較大．