Question

設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂，且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形．過B₁作直線l交橢圓于P、Q兩點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若PB₂⊥QB₂，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得c=2b，S△AB1B2=b2=4，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）B₁（-2，0），B₂（2，0），設直線PQ的方程為x=my-2代入橢圓方程，得（m²+5）y²-4my-16=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦點為F₂（c，0）．
因△AB₁B₂是直角三角形，又|AB₁|=|AB₂|，故∠B₁AB₂=90°，得c=2b，
在Rt△AB₁B₂中，S△AB1B2=b2=4，從而a²=b²+c²=20，
因此所求橢圓的標準方程為：

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）由（1）知B₁（-2，0），B₂（2，0），
由題意，直線PQ的傾斜角不為0，
設直線PQ的方程為x=my-2代入橢圓方程，
消元可得（m²+5）y²-4my-16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

B2P

•

B2Q

=0，
∴y1+y2=

4m

m2+5

，y1•y2=-

16

m2+5

，
又

B2P

=(x1-2，y1)，

B2Q

=(x2-2，y2)，
∴

B2P

•

B2Q

=(x1-2)(x2-2)+y1y2，
=-

16m2-64

m2+5

=0，
解得m=±2，
∴滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．