Question

20．已知球的直徑SC=4，A、B 是該球面上的兩點(diǎn)且AB=2$\sqrt{2}$，∠ASC=30°，∠SCB=45°，則三棱錐S-ABC的體積為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{2}{3}\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)球心為O，連結(jié)AO、BO，取CO的中點(diǎn)D，連結(jié)AD．由球的直徑的性質(zhì)可得△SAC中，∠SAC=90°，結(jié)合∠ASC=30°且SC=4，算出AC=2，可得△AOC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，得出AD⊥SC且AD=$\sqrt{3}$，再由已知可得△SBC是等腰直角三角形，求得BC，BS，結(jié)合已知可得BO⊥平面SAC，再利用錐體的體積公式加以計(jì)算，可得三棱錐S-ABC的體積．

解答 解：設(shè)球心為O，連結(jié)AO、BO，取CO的中點(diǎn)D，連結(jié)AD，
∵SC為球的直徑，A、B是球面上的點(diǎn)，∴∠SAC=∠SBC=90°．
又∵∠ASC=30°，∠SCB=45°，SC=4，∴AC=2，BC=$2\sqrt{2}$．
∵△AOC中，AO=CO=AC=2，∴△AOC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
又∵D為CO的中點(diǎn)，∴AD⊥SC且AD=$\sqrt{3}$．
則${S}_{△SAC}=\frac{1}{2}SC•AD=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
∵BC=BS=2$\sqrt{2}$，∴BO⊥SC且BO=2．
又AO=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴BO²+AO²=AB²，即BO⊥AO，
∵AO∩SC=O，∴BO⊥平面SAC，
因此，V_S-ABC=V_B-SAC=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出球的直徑與兩條直線所成角的大小，求球內(nèi)接三棱錐的體積．著重考查了球的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體、線面垂直的判定定理與錐體體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．