Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，記f(x)=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式及定義域；
（2）設(shè)g（x）=6m•f（x）+1，x∈(0，

π

3

)，是否存在正實(shí)數(shù)m，使函數(shù)g（x）的值域?yàn)?span mathtag="math" >(1，

3

2

]？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

BC=

1

sin 2π 3

sinx，AB=

sin( π 3 -x)

sin 2π 3

∴f(x)=

AB

•

BC

=

4

3

sinx•sin(

π

3

-x)•

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

(0＜x＜

π

3

)
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1(0＜x＜

π

3

)
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m符合題意，∵x∈(0，

π

3

)，∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，則sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
因?yàn)閙＞0時(shí)，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域?yàn)椋?，m+1]．
又g（x）的值域?yàn)?span mathtag="math" >(1，

3

2

]，解得m=

1

2

；
∴存在實(shí)數(shù)m=

1

2

，使函數(shù)f（x）的值域恰為(1，

3

2

]．