Question

18．若函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降冪，然后利用輔助角公式化積，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍求得相位的范圍，進(jìn)一步求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$
=$sin2x+2\sqrt{3}（{\frac{1+cos2x}{2}}）-\sqrt{3}$
=$sin2x+\sqrt{3}cos2x$
=$2（{\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x}）$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]，k∈Z$；
（2）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
則$2sin（2x+\frac{π}{3}）∈[-\sqrt{3}，2]$．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)?[-\sqrt{3}，2]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．