設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0），其離心率為
2
2
．
（1）求橢圓M的方程；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)P（0，4），則直線l何時(shí)與橢圓M相交？
分析：（1）利用焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0），其離心率為
2
2
，求出幾何量，即可得到橢圓的方程；
（2）分類(lèi)討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用判別式非負(fù)，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
b2
=1（b＞0），其離心率為
2
2
，
∴
4-b2
4
=
1
2

∴b2=2
∴橢圓M的方程為
x2
4
+
y2
2
=1；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)P（0，4），故斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+4
代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+16kx+28=0
∴△=256k2-112（1+2k2）≥0
∴k≥
14
2
或k≤-
14
2
時(shí)，直線l與橢圓M相交
斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓M相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)直線l：y=kx+m與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，M、N是直線l上兩點(diǎn)且
AM
=
MN
=
NB
，曲線C過(guò)點(diǎn)M、N．
（1）若曲線C的方程是x2+y2=20，求直線l的方程；
（2）若曲線C是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且離心率e∈(0，
3
2
)，求直線l斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率是
3
2
，橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)為A，P是橢圓上且位于第一象限的任意一點(diǎn)，AB∥OP，點(diǎn)B在橢圓上，R為直線AB與y軸的交點(diǎn)，證明：
AB
•
AR
=2
OP
2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)α∈（0，
π
2
），方程
x2
sinα
+
y2
cosα
=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則α∈（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準(zhǔn)線間的距離為10．設(shè)A（5，0），B（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)A作直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求過(guò)B，D兩點(diǎn)，且以AD為切線的圓的方程；
（3）過(guò)點(diǎn)A作直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交橢圓C于另一點(diǎn)S．若
AP
=t
OA
（t＞1），求證：
SB
=t
BQ
．

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