Question

【題目】過(guò)拋物線(xiàn)(其中)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為．

(1)求拋物線(xiàn)的方程；

(2)當(dāng)時(shí)，求的值；

(3)對(duì)于軸上給定的點(diǎn)(其中)，若過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)點(diǎn)，求證：直線(xiàn)與軸交于一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）1； （3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)AB的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得p＝4，即得拋物線(xiàn)方程；（2）推理證明=，整理即可得到所求值；（3）設(shè)A（，y1），B（，y2），P（﹣2，s），運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)的條件：斜率相等，可得s，設(shè)AP交x軸上的點(diǎn)為（t，0），運(yùn)用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理可得所求定點(diǎn)．

(1)過(guò)拋物線(xiàn)(其中)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)

為，代入拋物線(xiàn)方程，可得，

可設(shè)，

即有，解得，

可得拋物線(xiàn)的方程為；

(2)由直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，

由（1）可得，將代入可得；

(3)證明：設(shè)，，，

由三點(diǎn)共線(xiàn)可得

，可得，①

設(shè)交軸上的點(diǎn)為，即有，

代入①，結(jié)合，可得，

即有，

可得．即有直線(xiàn)與軸交于一定點(diǎn)．