【題目】在四棱錐中,平面平面,為等邊三角形,,,,點的中點.

1)求證:平面PAD;

2)求二面角PBCD的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)要證明線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,所以取中點,連結(jié),,根據(jù)條件證明;

(2)取中點,連結(jié),可證明平面,取中點,連結(jié),則,以為原點,如圖建立空間直角坐標系,求平面的法向量,用兩個平面的法向量求二面角的余弦值.

證明:(1)取中點,連結(jié),

因為中點,所以

因為,.所以

所以四邊形為平行四邊形,所以

因為平面平面,

所以平面

2)取中點,連結(jié)

因為,所以

因為平面平面

平面平面,平面,

所以平面.取中點,連結(jié),則

為原點,如圖建立空間直角坐標系,

設(shè),則,,,

,

平面的法向量

設(shè)平面的法向量,

,得

,則

由圖可知,二面角是銳二面角,

所以二面角的余弦值為

練習冊系列答案
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【題目】過拋物線(其中)的焦點的直線交拋物線于兩點,且兩點的縱坐標之積為

(1)求拋物線的方程;

(2)當時,求的值;

(3)對于軸上給定的點(其中),若過點兩點的直線交拋物線的準線點,求證:直線軸交于一定點.

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【題目】某公司的營銷部門對某件商品在網(wǎng)上銷售情況進行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)當這件商品每回饋消費者一定的點數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過統(tǒng)計得到以下表:

1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合該商品銷量(百件)與返還點數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測若返回6個點時該商品每天銷量;

2)該公司為了在購物節(jié)期間對所有商品價格進行新一輪調(diào)整,隨機抽查了上一年購物節(jié)期間60名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表:

網(wǎng)購金額

(單位:千元)

合計

頻數(shù)

3

9

9

15

18

6

60

若網(wǎng)購金額超過2千元的顧客定義為“網(wǎng)購達人”,網(wǎng)購金額不超過2千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達人”.該營銷部門為了進步了解這60名網(wǎng)友的購物體驗,從“非網(wǎng)購達人”、“網(wǎng)購達人”中用分層抽樣的方法確定10人,若需從這10人中隨機選取3人進行問卷調(diào)查.設(shè)為選取的3人中“網(wǎng)購達人”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式及數(shù)據(jù):①;②.

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【題目】已知橢圓的右焦點為,離心率為,是橢圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點,為坐標原點,關(guān)于的對稱點為,圓.

1)求橢圓和圓的標準方程;

2)過點與圓相切于點,使得點,點的兩側(cè).求四邊形面積的最大值.

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【題目】已知橢圓()的左、右焦點分別是,,點的上頂點,點上,,且.

1)求的方程;

2)已知過原點的直線與橢圓交于,兩點,垂直于的直線且與橢圓交于,兩點,若,求.

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【題目】如圖,從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出名,將其成績(均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖如下:觀察圖形,回答下列問題:

(1)這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少?

(2)估計這次環(huán)保知識競賽成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)。(不要求寫過程)

(3) 從成績是80分以上(包括80分)的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分數(shù)段的概率

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【題目】若存在實數(shù)使得則稱是區(qū)間一內(nèi)點.

(1)求證:的充要條件是存在使得是區(qū)間一內(nèi)點;

(2)若實數(shù)滿足:求證:存在,使得是區(qū)間一內(nèi)點;

(3)給定實數(shù),若對于任意區(qū)間是區(qū)間的一內(nèi)點,是區(qū)間的一內(nèi)點,且不等式和不等式對于任意都恒成立,求證:

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【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為,其中.

(1)當時,寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不要求證明);

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【題目】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點,橢圓過點,拋物線的頂點為原點.

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設(shè)點P為拋物線準線上的任意一點,過點P作拋物線的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.

設(shè)直線PAPB的斜率分別為,,求證:為定值;

若直線AB交橢圓CD兩點,分別是,的面積,試問:是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請說明理由.

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