Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°，BC=1，E為CD的中點，PC與平面ABCD成角60°
（1）求證：平面EPB⊥平面PBA；
（2）求二面角B-PD-A的平面角正切值的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出BE⊥AB，PA⊥BE，由此能證明BE⊥面PAB，從而得到面PBE⊥平面PAB．
（2）過B點作BF⊥AD于F，過F作FM⊥PD于M，連結BM，由已知條件推導出∠BMF為二面角B-PD-A的平面角，由此能求出二面角B-PD-A平面角正切值．

解答： 解：（1）∵E為CD的中點，BC=1，ABCD為菱形，
∴CE=

1

2

，又∠BCD=60°，∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BE，PA?面PAB，AB?面PAB，PA∩AB=A，
∵BE⊥面PAB，∵BE?平面PBE，
∴面PBE⊥平面PAB．（4分）
（2）過B點作BF⊥AD于F，過F作FM⊥PD于M，連結BM，
∵BF⊥AD，BF⊥PA，∴BF⊥面PAD，
∵BM為面PAD的斜線，MF為BM在面PAD的射影，∴BM⊥PD，
∴∠BMF為二面角B-PD-A的平面角，（8分）
PC與面ABCD成角60°，∠PCA=60°，PA=3，
BF=

3

2

，MF=

3

2 10

，∠BMF=

30

3

，
∴二面角B-PD-A平面角正切值為

30

3

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．