Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC₁、BB₁上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足EC=AB=2BF=2cm，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，MB∥平面AEF？并求截面AEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,解三角形,空間位置關(guān)系與距離

分析：利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得出當(dāng)點(diǎn)M是線(xiàn)段AC中點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEF；然后分別求出AF，AE，EF的值，由余弦定理求出cos∠EFA，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sin∠EFA，根據(jù)三角形面積公式即可求值．

解答： 解：當(dāng)點(diǎn)M是線(xiàn)段AC中點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEF．
下面給出證明：
取AE中點(diǎn)N，連接NF、MN．
則MN

∥

.

1

2

EC

∥

.

FB，
∴MNFB是平行四邊形，
則BM∥NF，
又∵NF?AEF，BM?平面AEF，
∴BM∥平面AEF．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，EC=AB=2BF=2cm，
∴AF=

AB2+BF2

=

5

，AE=

AC2+CE2

=2

2

，EF=

(EC-BF)2+BC2

=

5

，
∴由余弦定理知，△AEF中，cos∠EFA=

EF2+AF2-AE2

2×EF×AF

=

5+5-8

2× 5 × 5

=

1

5

，可解得sin∠EFA=

1-cos2∠EFA

=

2 6

5

，
∴S_△AEF=

1

2

EF×AF×sin∠EFA=

1

2

×

5

×

5

×

2 6

5

=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了線(xiàn)面平行的判定定理、平行四邊形的定義及三角形的中位線(xiàn)定理，熟練應(yīng)用相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．