Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右焦點分別是F₁、F₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求動點P的軌跡E的過程．
（2）設(shè)過點F₂且不垂直與坐標(biāo)軸的動直線a交軌跡E與A、B兩點，試問在y軸上是否存在一點D使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，試判斷點D的活動范圍：若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）雙曲線的方程可化為

x2

2

-y²=1，則|FF₂|=2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知點P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點且長軸長為4的橢圓，并能求出其方程．
（2）假設(shè)存在滿足條件的點D（0，m），設(shè)直線a的方程為y=k（x-

3

），代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，再由韋達定理結(jié)合分類討論思想能夠推導(dǎo)出滿足條件的點D存在，其活動范圍是滿足-

3 3

4

≤y≤

3 3

4

且y≠0的區(qū)域．

解答：解：（1）雙曲線的方程可化為

x2

2

-y²=1，則|FF₂|=2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，
所以點P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點且長軸長為4的橢圓，其方程為

x2

4

+y²=1．（3分）
（2）假設(shè)存在滿足條件的點D（0，m），設(shè)直線a的方程為y=k（x-

3

）（k≠0）
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得：x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2

3

）=

-2 3 k2

1+4k2

DA

=（x₁，y₁-m），

DB

=（x₂，y₂-m），

DA

+

DB

=（ x₁+x₂，y₁+y₂-2m），（6分）
又

AB

=λ（1，k） （λ=x₂-x₁），
∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴（

DA

+

DB

）⊥

AB

∴（

DA

+

DB

）•

AB

=0，即

8 3 k2

1+4k2

+

-2 3 k2

1+4k2

-2mk=0，整理得：

6 3 k2

1+4k2

-2mk=0，（8分）
∵k≠0，∴m=

3 3 k

1+4k2

=

3 3

1 k +4k

若k＞0，則

3 3

1 k +4k

≤

3 3

4

（當(dāng)且僅當(dāng)k=

1

2

時取等號），即m∈（0，

3 3

4

]（10分）
若k＜0，則

3 3

1 k +4k

≥-

3 3

4

（當(dāng)且僅當(dāng)k=-

1

2

時取等號），即m∈[-

3 3

4

，0）（11分）
綜上，滿足條件的點D存在，其活動范圍是滿足-

3 3

4

≤y≤

3 3

4

且y≠0的區(qū)域．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．