Question

14．已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x³-3x²+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）對稱，過點(diǎn)（1，t）僅能作曲線y=f（x）的一條切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-3，-2）
• B． [-3，-2]
• C． （-∞，-3）∪（-2，+∞）
• D． （-∞，-3）∪[-2，+∞）

Answer 1

分析 由對稱性可得（x，y）為y=f（x）圖象上的點(diǎn)，其對稱點(diǎn)為（1-x，-y），且在函數(shù)y=x³-3x²+2的圖象上，代入可得f（x）的解析式，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和方程，代入點(diǎn)（1，t），化簡整理可得t+3=3m²-2m³，
由g（m）=3m²-2m³，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，由題意可得t+3=3m²-2m³只有一解，則t+3＞1或t+3＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x³-3x²+2的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，0）對稱，
設(shè)（x，y）為y=f（x）圖象上的點(diǎn)，其對稱點(diǎn)為（1-x，-y），且在函數(shù)y=x³-3x²+2的圖象上，
可得-y=（1-x）³-3（1-x）²+2，即為y=f（x）=（x-1）³+3（1-x）²-2，
設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則n=（m-1）³+3（1-m）²-2，
f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3（x-1）²+6（x-1）=3（x²-1），
可得切線的方程為y-n=3（m²-1）（x-m），
代入點(diǎn)（1，t），可得t-n=3（m²-1）（1-m），
化簡可得t+3=3m²-2m³，
由g（m）=3m²-2m³，
g′（m）=6m-6m²=6m（1-m），
當(dāng)0＜m＜1時，g′（m）＞0，g（m）遞增；當(dāng)m＜0或m＞1時，g′（m）＜0，g（m）遞減．
則g（m）在m=0處取得極小值0，在m=1處取得極大值1，
由過點(diǎn)（1，t）僅能作曲線y=f（x）的一條切線，
可得t+3=3m²-2m³只有一解，
則t+3＞1或t+3＜0，
解得t＞-2或t＜-3．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及化簡整理能力，屬于中檔題．