Question

18．已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且△APB面積的最大值為2$\sqrt{3}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線AP與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的特征可得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)（0，b）時(shí)，△APB面積的最大，結(jié)合題中的條件可得a、b與c的關(guān)系進(jìn)而得到答案．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），根據(jù)題意可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2），可得點(diǎn)D與BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，進(jìn)而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），再寫(xiě)出直線PF的方程，根據(jù)點(diǎn)E到直線PF的距離等于直徑BD的一半，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），右焦點(diǎn)F（c，0）．
根據(jù)題意可知：當(dāng)P位于短軸的頂點(diǎn)時(shí)，△APB面積的最大，即$\frac{1}{2}$•2a•b=2$\sqrt{3}$，
由a=2，則b=$\sqrt{3}$，∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：根據(jù)題意可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x₀，y₀），則-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
由點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)k=±$\frac{1}{2}$時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，±$\frac{3}{2}$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線PF相切．
當(dāng)k≠±$\frac{1}{2}$時(shí)，則直線PF的斜率k_PF=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
∴直線PF的方程為y=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$（x-1），
點(diǎn)E到直線PF的距離d=$\frac{丨\frac{8k}{1-4{k}^{2}}-2k-\frac{4k}{1-4{k}^{2}}丨}{\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1-4{k}^{2}）^{2}}+1}}$=$\frac{丨\frac{2k+8{k}^{2}}{1-4{k}^{2}}丨}{\frac{1+4{k}^{2}}{丨1-4{k}^{2}丨}}$=2丨k丨，
又由丨BD丨=4丨k丨，則d=$\frac{1}{2}$丨BD丨，
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．