Question

8．如圖四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．△PAD是正三角形，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB，點E為PD中點．
（I）證明：CD⊥平面PAD
（II）證明：平面PBC⊥平面PCD
（III）求二面角D-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，可得CD⊥面PAD．
（Ⅱ）如圖以AD的中點為原點，OD、OP方向分別為y軸、z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，
則A（0，-1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，-1，0），C（2，1，0）
求出面PBC、面PDC的法向量，利用法向量垂直，得平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ） 求出兩個面的法向量，利用向量夾角公式求解．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴CD⊥AD，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．
（Ⅱ）證明：如圖以AD的中點為原點，OD、OP方向分別為y軸、z軸建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=1，
則A（0，-1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，-1，0），C（2，1，0）
設(shè)面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，$\overrightarrow{BC}=（1，2，0），\overrightarrow{BP}=（-1，1\sqrt{3}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BP}=-x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}=（2，-1，\sqrt{3}）$，
設(shè)面PDC的法向量為$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-b+\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}=（0，\sqrt{3，}，1）$．
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2×0+（-1）×\sqrt{3}+\sqrt{3}×1=0$，∴平面PBC⊥平面PCD．
（Ⅲ）設(shè)面BDP的法向量為$\overrightarrowsac7yfx=（e，f，h）$，$\overrightarrow{BD}=（-1，2，0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrowbiaskmj•\overrightarrow{BD}=-e+2f=0}\\{\overrightarrowj5vt1jr•\overrightarrow{BP}=-e+f+\sqrt{3}h=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow5wxld6v=（6，3，\sqrt{3}）$，
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrowrtwtbnu＞=\frac{\sqrt{6}}{4}$，二面角D-PB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了空間線面垂直、面面垂直，向量在空間問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．