Question

19．已知分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+c（x≥0）}\end{array}\right.$．
（1）求實(shí)數(shù)c的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f[f（-1）]的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)的兩段都取到x=0，列方程求出c；（2）利用復(fù)合函數(shù)的意義，求出f[f（-1）]的值，分段求單調(diào)增區(qū)間；（3）對(duì)a進(jìn)行討論．

解答 解：（1）因?yàn)閮啥味既〉絰=0，所以當(dāng)x=0時(shí)的函數(shù)值相等，即2⁰=c，因此c=1
（2）因?yàn)閍=1，所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{{x}^{2}-2x+1（x≥0）}\end{array}\right.$，所以$f[f（-1）]=f[\frac{1}{2}]=\frac{1}{4}$
由解析式可知：f（x）的增區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞）
（3）由解析式$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{a{x}^{2}-（a+1）x+1（x≥0）}\end{array}\right.$知：
當(dāng)x≤0時(shí)：函數(shù)沒有零點(diǎn)
當(dāng)x≥0時(shí)：f（x）=（ax-1）（x-1），此時(shí)函數(shù)一定有一個(gè)零點(diǎn)x=1
令h（x）=ax-1，則函數(shù)h（x）要么沒有零點(diǎn)，要么有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1，而：
當(dāng)a=0時(shí)，此函數(shù)沒有零點(diǎn)，符合題意
當(dāng)a＜0時(shí)，此函數(shù)沒有零點(diǎn)，符合題意
當(dāng)a＞0時(shí)，若a=1，此函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)x=1，符合題意；其它取值都有不等于1的根，不符合題意
所以：當(dāng)a∈（-∞，0]∪{1}時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的函數(shù)值、單調(diào)性和零點(diǎn)的問題，關(guān)鍵是分類討論思想，屬于中等題．