已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a＞0．
（1）當(dāng)a＞2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)a=4時，若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x）當(dāng)x≠x0時，若
h(x)-g(x)
x-x0
＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點(diǎn)”，請你探究當(dāng)a=4時，函數(shù)y=f（x）是否存在“類對稱點(diǎn)”，若存在，請最少求出一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），當(dāng)a＞2時在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0即可．
（2）數(shù)形結(jié)合：當(dāng)a=4時，用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值，畫出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．
（3）當(dāng)a=4時，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程為y=h（x）=(2x0+
4
x0
-6)x-x02+4lnx0-4．由此能推導(dǎo)出y=f（x）存在“類對稱點(diǎn)”，
2
是一個“類對稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)．
解答： 解：（1）由f（x）=x2-（a+2）x+alnx可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，且f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
2x2-(a+2)x+a
x
=
(2x-a)(x-1)
x
．
因?yàn)閍＞2，所以
a
2
＞1．
當(dāng)0＜x＜1或x＞
a
2
時，f'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜
a
2
時，f'（x）＜0，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，(
a
2
，+∞)．
（2）當(dāng)a=4時，f′(x)=
2(x-1)(x-2)
x
．
所以，當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：
x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）
f′（x）+0-0+
f（x）單調(diào)遞增f（x）取極大值單調(diào)遞減f（x）取極小值單調(diào)遞增
所以f(x)極大值=f(1)=12-6×1+4ln1=-5，
f(x)極小值=f(2)=22-6×2+4ln2=4ln2-8．
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，所以若函數(shù)y=f（x）-m有三個不同的零點(diǎn)，則m∈（4ln2-8，-5）．
（3）由題意，當(dāng)a=4時，f′(x)=2x+
4
x
-6，
則在點(diǎn)P處切線的斜率k切=f/(x0)=2x0+
4
x0
-6．
所以切線方程為y=g(x)=(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)+
x
2
0
-6x0+4lnx0=(2x0+
4
x0
-6)x-x02+4lnx0-4．
φ(x)=f(x)-g(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+
4
x0
-6)(x-x0)-(
x
2
0
-6x0+4lnx0)，
則φ（x0）=0，φ′(x)=2x+
4
x
-6-(2x0+
4
x0
-6)=2(x-x0)(1-
2
x0x
)=
2
x0
(x-x0)(x0-
2
x
)．
當(dāng)x0＜
2
時，φ（x）在(x0，
2
x0
)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(x0，
2
x0
)時，φ（x）＜φ（x0）=0．從而有x∈(x0，
2
x0
)時，
ϕ(x)
x-x0
＜0；
當(dāng)x0＞
2
時，φ（x）在(
2
x0
，x0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(
2
x0
，x0)時，φ（x）＞φ（x0）=0．從而有x∈(
2
x0
，x0)時，
φ(x)
x-x0
＜0；
所以在(0，
2
)∪(
2
，+∞)上不存在“類對稱點(diǎn)”．
當(dāng)x0=
2
時，φ′(x)=
2
x
(x-
2
)2，
所以φ（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，故
φ(x)
x-x0
＞0．
所以x=
2
是一個類對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點(diǎn)下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對稱點(diǎn)”．解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，此題是難題．．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：f（x）=（a-2）x2+2（a-2）x-4，
（1）當(dāng)x∈R時，恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[1，3）時，恒有f（x）＜0，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈（1，3）時，恰有f（x）＜mx-7成立，求a，m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明命題：“f（x）=ex+
1
ex
在（0，+∞）上是增函數(shù)”，現(xiàn)給出的證法如下：
因?yàn)閒（x）=ex+
1
ex
，所以f′（x）=ex-
1
ex
，
因?yàn)閤＞0，所以ex＞1，0＜
1
ex
＜1，
所以ex-
1
ex
＞0，即f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，使用的證明方法是（　�。�
A、綜合法B、分析法
C、反證法D、以上都不是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=8x2+ax+5在（-∞，1]上遞減，那么a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)且非常數(shù)數(shù)列，若a2=6，且a5-2a4-a3+12=0，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）-2lnx（a為常數(shù)）
（Ⅰ）當(dāng)a=1對，求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無零點(diǎn)，求a的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知圓C1的參數(shù)方程為
x=cosφ
y=sinφ
（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）．
（Ⅰ）將圓C1的參數(shù)方程他為普通方程，將圓C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）圓C1，C2是否相交，若相交，請求出公共弦的長；若不相交，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)y=x-1，y=x
1
2
，y=（x-1）2，y=x3中有三個是增函數(shù)；
②若logm3＜logn3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對稱；
④若函數(shù)f（x）=3x-2x-3，則方程f（x）=0有2個實(shí)數(shù)根．
其中假命題的個數(shù)為（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下四個命題：
①若ab≤0，則a≤0或b≤0；
②若a＞b則am2＞bm2；
③在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B；
④在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若b2-4ac＜0，則方程有實(shí)數(shù)根．
其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是（　�。�
A、①B、②C、③D、④

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同步練習(xí)冊答案