Question

已知A（-1，2）為拋物線C: y=2x²上的點(diǎn)，直線過點(diǎn)A，且與拋物線C 相切，直線:x=a(a≠-1)交拋物線C于B，交直線于點(diǎn)D.

（1）求直線的方程.

（2）設(shè)的面積為S₁，求及S₁的值.

（3）設(shè)由拋物線C，直線所圍成的圖形的面積為S₂，求證S₁:S₂的值為與a無關(guān)的常數(shù).

Answer 1

（1）的方程為y-2=-4(x+1)即y=-4x-2  (2) = 2²+4+2=2（+1）²

∴S₁=   (3) S₁:S₂的值為與無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是

解析:

（1）由當(dāng)x=1時，y＇=-4                   ……………2分

   ∴的方程為y-2=-4(x+1)即y=-4x-2                     ……………………3分

(2)得B點(diǎn)坐標(biāo)為（）                     ……………………4分

由得D點(diǎn)坐標(biāo)（,-4-2）             ……………………5分

點(diǎn)A 到直線BD的距離為                    ………………………………6分

= 2²+4+2=2（+1）²

∴S₁=                                      ………………………………7分

(3)當(dāng)>-1時，S₁=（+1）³，                ………………………………………8分

                                        

                                     

                                      …………………………………………9分

…………………………………………10分

∴S₁:S₂=          ………………………………………………………………………11分

當(dāng)<-1時，S₁= -（+1）³           ……………………………………………………12

    ……………………………………………13分

∴S₁:S₂=

綜上可知S₁:S₂的值為與無關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是       …………………………………14分