對于函數(shù)f(x)=
2x•ex，x≤0
x2-2x+
1
2
，x＞0
有下列命題：
①在該函數(shù)圖象上一點（-2，f（-2））處的切線的斜率為-
2
e2
；
②函數(shù)f（x）的最小值為-
2
e
；
③該函數(shù)圖象與x軸有4個交點；
④函數(shù)f（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在（0，1]上也為減函數(shù)．
其中正確命題的序號是
 
．
分析：①在該函數(shù)圖象上一點（-2，f（-2））處的切線的斜率為f′（2），求導數(shù)即可；
②④考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，應分x≤0和x＞0兩種情況分別用導數(shù)求解；
③結(jié)合②中函數(shù)的性質(zhì)畫出草圖解決，注意x＜0時，f（x）恒小于0，且f（x）=0．
解答：解：x≤0時，f（x）=2xex，f′（x）=2（1+x）ex，故f′（-2）=-
2
e2
，①正確；
且f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，0）上單調(diào)遞增，故x≤0時，f（x）有最小值f（-1）=-
2
e
，
x＞0時，f（x）=x2-2x+
1
2
在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故x＞0時，f（x）有最小值f（1）=-
1
2
＞-
2
e

故f（x）有最小值-
2
e
，②④正確；因為x＜0時，f（x）恒小于0，且f（x）=0，故該函數(shù)圖象與x軸有3個交點，③錯誤；
故答案為：①②④
點評：本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)問題，綜合性強，考查學生運用知識解決問題的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
若對于函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
定義域內(nèi)的任意 x，恒有fK（x）=f（x），則（　　）
A、K的最大值為2
2
B、K的最小值為2
2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)=
sinx當sinx≥cosx時
cosx當sinx＜cosx時
，下列結(jié)論正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)=
2
(sinx+cosx)，給出下列四個命題：
①存在α∈(-
π
2
，0)，使f(α)=
2
； 
②存在α∈(0，
π
2
)，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+?）的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-
3π
4
對稱；
⑤函數(shù)f（x）的圖象向左平移
π
4
就能得到y(tǒng)=-2cosx的圖象
其中正確命題的序號是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)=
13x+1+3
+a，a∈R
（1）探索函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
若對于函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
定義域內(nèi)的任意 x，恒有fK（x）=f（x），則（　�。�
A．K的最大值為2
2
B．K的最小值為2
2
C．K的最大值為1D．K的最小值為1

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