求證:如果一條直線與兩個(gè)相交的平面都平行,那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行.

已知:a∥α,a∥β,α∩β=b.

求證:a∥b.

思路點(diǎn)撥：已知線面平行,容易想到利用線面平行的性質(zhì),從而得到線線平行,而要利用線面平行的性質(zhì)就要考慮添加輔助面.

證明：在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P(Pb)，平面β內(nèi)取一點(diǎn)Q(Qb).設(shè)過點(diǎn)P和直線a的平面為α1,α1∩α=c.過點(diǎn)Q和直線b的平面為β1,β1∩β=d.

因?yàn)閍∥α,所以a∥c.

又因?yàn)閍∥β,所以a∥d.故c∥d.

又dβ，所以c∥β.

因?yàn)棣痢搔?b，所以c∥b.

又a∥c（已證）,故a∥b.

［一通百通］ 有關(guān)證明線線平行的問題，通�？梢钥紤]先通過證明相關(guān)的線面平行,從而利用線面平行的性質(zhì)定理而得到線線平行.

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如果一條直線和兩個(gè)平面中的一個(gè)相交，那么它和另一個(gè)平面也相交．

已知：α∥β，l∩α＝A．

求證：l與β相交．

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如果一條直線與兩個(gè)平等平面中的一個(gè)相交，那么它與另一個(gè)也相交．

如圖，已知，，求證與相交．

 


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如果一條直線分別與兩個(gè)相交平面平行，那么這條直線與兩個(gè)相交平面的交線平行.

已知：（如圖）α∩β=a且b∥α,b∥β.求證：b∥a.

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