Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+4x與g（x）=bx²+cx+8的圖象都過(guò)點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處有相同的切線．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），當(dāng)x∈R時(shí)，求F（x）的極大值和極小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）的圖象過(guò)P（2，0），∴f（2）=0
∴a×2³+8=0，∴a=-1，∴f（x）=-x³+4x
∴f′（x）=-3x²+4，g′（x）=2bx+c
∴f′（2）=-8，g′（2）=4b+c
∵在點(diǎn)P處有相同的切線
∴4b+c=-8
∵g（2）=4b+2c+8=0
∴b=-2，c=0
∴g（x）=-2x²+8
（Ⅱ）函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）=-x³-2x²+4x+8
∴F′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）
令F′（x）＞0可得-2＜x＜；令F′（x）＜0可得x＜-2或x＞
∴函數(shù)在（-∞，-2），（，+∞）上為減函數(shù)，在（-2，）上為增函數(shù)
∴函數(shù)在x=-2處，取得極小值為F（-2）=0；在x=處，取得極大值為F（）=9
分析：（Ⅰ）利用f（x）的圖象過(guò)P（2，0），可求f（x）的解析式；利用f（x），g（x）在點(diǎn)P處有相同的切線，可求g（x）的解析式；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)函數(shù)的求法以及導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查函數(shù)的極值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．