Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-a|（a＞0），g（x）=x+2-|2x+1|．
（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件去掉絕對值，求得x的范圍．
（2）由題意可得|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立，令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2，化簡h（x）的解析式，根據(jù)單調(diào)性求得h（x）的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范圍．

解答 解：（1）|2x-1|≥1，解得 x≤0或x≥1，∴原不等式的解集為{x|x≤0或x≥1}．
（2）由題意可得|2x-a|≥x+2-|2x+1|恒成立，
即|2x-a|+|2x+1|≥x+2恒成立，即|2x-a|+|2x+1|-x-2≥0 恒成立．
令h（x）=|2x-a|+|2x+1|-x-2=$\left\{\begin{array}{l}{-5x+a-3，x≤-\frac{1}{2}}\\{-x+a-1，-\frac{1}{2}＜x＜\frac{a}{2}}\\{3x-a-1，x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
因為a＞0，故當(dāng)x=$\frac{a}{2}$時，h（x）取得最小值為$\frac{a}{2}$-1，令$\frac{a}{2}$-1≥0，求得a≥2．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．