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精英家教網如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的長；
（Ⅱ）求證：BE=EF．
分析：（1）由PA是圓的切線結合切割線定理得比例關系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，從而求得AC的長；
（2）欲求證：“BE=EF”，可先分別求出它們的值，比較即可，求解時可結合圓中相交弦的乘積關系．
解答：解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，
∴PD=4，
又∵PC=ED=1，∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA，∴
PC
AC
=
AC
AB
，
∴AC2=PC•AB=2，∴AC=
2
（5分）
（II）∵BE=AC=
2
，CE=2，而CE•ED=BE•EF，
∴EF=
2•1
2
=
2
，∴EF=BE．（10分）
點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、圓中的切割線定理以及相似三角形的知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（幾何證明選講）如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=10，CD=8，則線段AC的長度為
4
5
4
5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（幾何證明選講）如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交DC的延長線于P，PC=ED=1，PA=2，則AC=
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（選做）如圖，AB，CD是圓O的兩條線，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=2
5
，則線段BC的長度為
6
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•韶關一模）（坐標系與參數方程選做題）如圖，AB，CD是圓的兩條弦，AB與CD交于E，AE＞EB，AB是線段CD的中垂線，若AB=6，CD=2
5
，則線段AC的長度為
30
30
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)二模）如圖，AB、CD是圓O的兩條平行弦，AF∥BD交CD于點E，交圓為O于點F，過B點的切線交CD的延長線于點P，若PD=CE=1，PB=
5
，則BD的長為
3
3
．

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