Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，且點(diǎn)（-2，$\sqrt{2}$）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)B為橢圓的下頂點(diǎn)，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q（異于點(diǎn)B），直線BQ與BP的斜率之和為2，試問(wèn)直線l是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦距為4，且點(diǎn)（-2，$\sqrt{2}$）在橢圓C上，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）B（0，-2），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，推導(dǎo)出直線l為x=2，當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用韋達(dá)定理、直線斜率公式，結(jié)合已知條件能求出直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，2）．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，且點(diǎn)（-2，$\sqrt{2}$）在橢圓C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=4}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）∵點(diǎn)B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的下頂點(diǎn)，∴B（0，-2），
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：x=x₀，（-2$\sqrt{2}$$＜{x}_{0}＜2\sqrt{2}$，x₀≠0），
則P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
∵直線BQ與BP的斜率之和為2，
∴$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}}$+$\frac{-{y}_{0}+2}{{x}_{0}}$=2，解得x₀=2，∴直線l為x=2，過(guò)定點(diǎn)（2，2）．
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵直線BQ與BP的斜率之和為2，
∴k_BQ+k_BP=$\frac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}$+$\frac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}$=$\frac{k{x}_{2}+m+2}{{x}_{2}}$+$\frac{k{x}_{1}+m+2}{{x}_{1}}$
=2k+$\frac{（m+2）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2k+$\frac{（m+2）×（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）}{\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=2k-$\frac{2km}{m-2}$=$\frac{4k}{2-m}$=2，
∴m=2-2k，
∴y=kx+m=kx+2-2k=k（x-2）+2，
∴直線y=kx+m過(guò)定點(diǎn)（2，2）．
綜上，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過(guò)定點(diǎn)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、直線斜率公式、韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．