Question

7．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）線段AB上是否存在點(diǎn)M，使AB⊥平面PCM？并給出證明．
（Ⅱ）求直線PB與平面PCD的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用當(dāng)M是AB的中點(diǎn)時(shí)，AB⊥平面PCM，證明AB⊥PM，AB⊥CM，即可證明．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥PC交PC于點(diǎn)N，點(diǎn)M與B到平面PMC的距離相等，即可求直線PB與平面PCD的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)M是AB的中點(diǎn)時(shí)，AB⊥平面PCM…（1分）
∵AP=PB，∴AB⊥PM
又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM
又 PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM…（4分）
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)M作MN⊥PC交PC于點(diǎn)N，
由AB⊥平面PCM，AB∥CD得，CD⊥平面PCM
又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PCM
又MN?平面PCD，∴MN⊥平面PCD…（6分）
由已知可得$MP=1，MC=\sqrt{3}$，在Rt△PCM中，由面積公式得PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（8分）
又AB∥CD，AB?平面PCM，∴AB∥平面PCM
即點(diǎn)M與B到平面PMC的距離相等，即為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（10分）
又PB=3，∴PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．