已知函數(shù)f(x)=
a•2x+a-22x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）求函數(shù)的值域．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f（0）=0，代入解析式可求出a的值；
（2）由（1）知f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，所以f（x）為增函數(shù)，任取x1＜x2∈R，然后判定f（x1）-f（x2）的符號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定；
（3）令y=
2x-1
2x+1
，求出2x，根據(jù)2x的范圍可求出y的范圍，從而求出函數(shù)的值域．
解答：解：（1）f（x）的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴a=1
（2）由（1）知f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，所以f（x）為增函數(shù)
證明：任取x1＜x2∈R
f（x1）-f（x2）=1-
2
2x1+1
-1+
2
2x2+1
=
2(2x1-2x2) 
(2x1+1) (2x2+1)

∵x1＜x2∈R∴2x1＜2x2
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）令y=
2x-1
2x+1
則2x=
-1-y
y-1

而2x＞0∴2x=
-1-y
y-1
＞0
∴-1＜y＜1
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的值域，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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