Question

判斷命題“若a≥0，則x²＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題的真假．

Answer 1

解　法一　寫出逆否命題，再判斷其真假．

原命題：若a≥0，則x²＋x－a＝0有實(shí)根．

逆否命題：若x²＋x－a＝0無實(shí)根，則a＜0.

判斷如下：

∵x²＋x－a＝0無實(shí)根，

∴Δ＝1＋4a＜0，∴a＜－＜0，

∴“若x²＋x－a＝0無實(shí)根，則a＜0”為真命題．

法二　利用原命題與逆否命題同真同假(即等價(jià)關(guān)系)判斷

∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1＞0，

∴方程x²＋x－a＝0的判別式Δ＝4a＋1＞0，

∴方程x²＋x－a＝0有實(shí)根，

故原命題“若a≥0，則x²＋x－a＝0有實(shí)根”為真．

又∵原命題與其逆否命題等價(jià)，

∴“若a≥0，則x²＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題為真命題．

法三　利用充要條件與集合關(guān)系判斷．

命題p：a≥0，q：x²＋x－a＝0有實(shí)根，

∴p：A＝{a∈R|a≥0}，

q：B＝{a∈R|方程x²＋x－a＝0有實(shí)根}＝.

即A⊆B，∴“若p，則q”為真，

∴“若p，則q”的逆否命題“若綈q，則綈p”為真．

∴“若a≥0，則x²＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題為真．