Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，-1），

b

=（cos

x

2

-sin

x

2

，

1

2

），且函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的解析式最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別是a、b、c，若a=3，B=2A，且f（A-

π

4

）=

3

3

，求c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其周期公式即可得出；
（2）由f（A-

π

4

）=

3

3

，可得cosA=

6

3

，sinA=

1-cos2A

=

3

3

．利用倍角公式及其三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式可得sinB，利用正弦定理可得b，c．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=cos

x

2

(cos

x

2

-sin

x

2

)-

1

2

=cos2

x

2

-

1

2

sinx-

1

2

=

1

2

cosx-

1

2

sinx
=-

2

2

sin(x-

π

4

)．
∴T=

2π

1

=2π．
（2）∵f（A-

π

4

）=

3

3

，∴-

2

2

sin(A-

π

2

)=

3

3

，
∴cosA=

6

3

．
∴sinA=

1-cos2A

=

3

3

．
∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×

6

3

×

3

3

=

2 2

3

．
∴cosB=±

1

3

．
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

5 3

9

或

3

3

．
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

3× 2 2 3

3 3

=2

6

．
當(dāng)sinC=

5 3

3

時，

a

sinA

=

c

sinC

，c=

3× 5 3 9

3 3

=5．
當(dāng)sinC=

3

3

時，c=a=3．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式及其周期公式、同角三角形函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．