Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，S_n²-S_n-1²=a_n³（n≥2）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求出其通項公式；
（Ⅱ）對于數(shù)列{a_n}，在每兩個a_k與a_k+1之間都插入k（k∈N₊）個2，使數(shù)列{a_n}變成一個新數(shù)列{t_m}，數(shù)列{t_m}的前m項和為T_m，若T_m＞2014，求m的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知，當n≥2時，(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=

a

3 n

，即(Sn+Sn-1)an=

a

3 n

，再寫一式，兩式相減，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）求出數(shù)列{t_m}中，a_k（含a_k項）前的所有項之和，利用T_m＞2014，求m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，當n≥2時，(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=

a

3 n

，即(Sn+Sn-1)an=

a

3 n

，
∴Sn+Sn-1=

a

2 n

，Sn+1+Sn=

a

2 n+1

，兩式相減得an+1+an=

a

2 n+1

-

a

2 n

，于是a_n+1-a_n=1（n≥2）；
又由a₁=1，

S

2 2

-

S

2 1

=

a

3 2

，可得a₂=2，所以a₂-a₁=1；
因此，數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，其通項公式為a_n=n．…6分
（Ⅱ）數(shù)列{t_m}中，a_k（含a_k項）前的所有項之和為(1+2+…+k)+[1+2+…+(k-1)]×2=

k(k+1)

2

+k(k-1)=

3k2-k

2

，
當k=36時，其和為

3×362-36

2

=1926＜2014；當k=37時，其和為

3×372-37

2

=2035＞2014；
又因為2014-1926=88＞36×2=72，故恰好在k=37時開始滿足T_m＞2014．
∴m_min=37+（1+2+…+36）=703． …12分．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明和通項公式的求法，考查實數(shù)取值范圍的求法．考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．