Question

函數(shù)f(x)=

1

3

x3-2ax2+3a2x在（0，1）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．（0，+∞）
• B．（-∞，3）
• C．（0，

  1

  3

  ）
• D．(0，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a），通過(guò)討論參數(shù)確定極小值，然后利用極小值點(diǎn)在（0，1）內(nèi)即可．

解答：解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=x²-4ax+3a²=（x-a）（x-3a）．由f'（x）=0，解得x=a或x=3a．
若a=0，則f'（x）=x²≥0，此時(shí)函數(shù)遞增，無(wú)極值．所以a≠0
若a＞0，則3a＞a，此時(shí)函數(shù)在x=3a處取得極小值，由0＜3a＜1，解得0＜a＜

1

3

．
若a＜0，則3a＜a，此時(shí)函數(shù)在x=a處取得極小值，因?yàn)閍＜0，所以此時(shí)不滿(mǎn)足條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于基本題型．