Question

18．設(shè)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（3）=1，且3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），則不等式（x-2017）³f（x-2017）-27＞0的解集為（　�。�

• A． （2014，+∞）
• B． （0，2014）
• C． （0，2020）
• D． （2020，+∞）

Answer 1

分析 利用函數(shù)的可導(dǎo)性，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³f（x），利用函數(shù)的單調(diào)性以及不等式，轉(zhuǎn)化求解不等式的解集即可．

解答 解：定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），3f（x）+xf′（x）＞ln（x+1），
所以3x²f（x）+x³f′（x）＞x²ln（x+1）＞0（x＞0），可得[x³f（x）]′＞0，
所以函數(shù)g（x）=x³f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)，
因?yàn)椋▁-2017）³f（x-2017）-27＞0，且f（3）=1，
所以（x-2017）³f（x-2017）＞3³f（3），即g（x-2017）＞g（3），
所以x-2017＞3，解得x＞2020．
則不等式（x-2017）³f（x-2017）-27＞0的解集為：（2020，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不等式的解集，不等式恒成立問題存在性問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．