Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-$\frac{k}{x}$（k∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為10，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若不等式x²f（x）+$\frac{1}{x+1}$≥0與k≥$\frac{1}{2}$x²+（e²-2）x-e^x-7在[1，+∞）上均恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為10，求出k，即可求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若不等式x²f（x）+$\frac{1}{x+1}$≥0與k≥$\frac{1}{2}$x²+（e²-2）x-e^x-7在[1，+∞）上均恒成立，分別求出k的范圍，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx+k}{{x}^{2}}$，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為10，
∴1+k=10，∴k=9，
∴f′（x）=$\frac{10-lnx}{{x}^{2}}$，
0＜x＜e¹⁰，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x＞e¹⁰，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=e¹⁰，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{1}{{e}^{10}}$；
（2）不等式x²f（x）+$\frac{1}{x+1}$≥0，可化為k≤lnx+$\frac{1}{x（x+1）}$，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x（x+1）}$，則在[1，+∞）上h′（x）=$\frac{{x}^{3}+2{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}（x+1）^{2}}$＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴k≤h（1）=$\frac{1}{2}$；
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²+（e²-2）x-e^x-7，則在[1，2）上g′（x）=x+（e²-2）-e^x＞0，函數(shù)單調(diào)遞減，
（2，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，∴k≥g（2）=e²-9，
綜上所述，e²-9≤k≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．