Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{2a（x-1）}{x+1}$（a∈R）
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知k=f′（1）=2，f（1）=0，根據(jù)點斜式即可求出切線方程．
（2）先求導，設g（x）=x²+2（2a+1）x+1，需要分類討論，當△=4（2a+1）²-4≤0，當△=4（2a+1）²-4＞0時兩種情況，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調性的關系即可得到．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
∴k=f′（1）=1+1=2，f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=2（x-1），即2x-y-2=0；
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4ax}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2（2a+1）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0
設g（x）=x²+2（2a+1）x+1，
當△=4（2a+1）²-4≤0時，即-1≤a≤0時，g（x）≥0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當△=4（2a+1）²-4＞0時，即a＜-1，或a＞0，
①當a＞0時，（x+1）²+4ax＞0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
②當a＜-1時，令f′（x）=0，解得x₁=-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，x₂=-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，
當f′（x）＞0時，即x＞x₁，或x＜x₂，函數(shù)f（x）單調遞增，
當f′（x）＜0時，即x₁＜x＜x₂，函數(shù)f（x）單調遞減，
綜上所述，當a≥-1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當a＜-1時，f（x）在（0，-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$）和（-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，+∞）上為增函數(shù)，
在（-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，）上為減函數(shù)．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)單調性的關系，以及導數(shù)的幾何意義，關鍵是分類討論，屬于中檔題．