Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{2a（x-1）}{x+1}$（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知k=f′（1）=2，f（1）=0，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線方程．
（2）先求導(dǎo)，設(shè)g（x）=x²+2（2a+1）x+1，需要分類討論，當(dāng)△=4（2a+1）²-4≤0，當(dāng)△=4（2a+1）²-4＞0時(shí)兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得到．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
∴k=f′（1）=1+1=2，f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程y=2（x-1），即2x-y-2=0；
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{4a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4ax}{x（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2（2a+1）x+1}{x（x+1）^{2}}$，x＞0
設(shè)g（x）=x²+2（2a+1）x+1，
當(dāng)△=4（2a+1）²-4≤0時(shí)，即-1≤a≤0時(shí)，g（x）≥0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)△=4（2a+1）²-4＞0時(shí)，即a＜-1，或a＞0，
①當(dāng)a＞0時(shí)，（x+1）²+4ax＞0恒成立，
∴f′（x）≥0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
②當(dāng)a＜-1時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，x₂=-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＞x₁，或x＜x₂，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x₁＜x＜x₂，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)a≥-1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在（0，-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$）和（-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，+∞）上為增函數(shù)，
在（-2a-2-2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，-2a-2+2$\sqrt{{a}^{2}+a}$，）上為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．