Question

10．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程：p=3
（Ⅰ）設(shè)A、B是直線l與曲線C的交點(diǎn)，求|AB|
（Ⅱ）若P是曲線C上任意一點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化參數(shù)方程為普通方程，化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，然后求出圓心到直線距離，再利用勾股定理得答案；
（Ⅱ）求出圓周上的點(diǎn)到直線l的最大距離，代入三角形的面積公式求得△ABP面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）將直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=-1-t}\end{array}\right.$化為普通方程，得x+y-1=0，
由ρ=3，得x²+y²=9，
圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=$2\sqrt{9-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{34}$；
（Ⅱ）圓周上的點(diǎn)到直線l的最大距離d=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$（{S}_{△ABP}）_{max}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{\sqrt{34}}{2}（3+\frac{\sqrt{2}}{2}）$=$\frac{3\sqrt{34}+\sqrt{17}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．