Question

3．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin2C，且A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角．
（1）求角C的大��；
（2）若2sinC=sinA+sinB，且$\overrightarrow{CA}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=18，求c邊的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積推出三角方程，然后求解C的大�。�
（2）利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化求出ab的值，利用正弦定理以及余弦定理，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC$…（3分）
∴sinC=sin2C⇒sinC=2sinCcosC，
∴$cosC=\frac{1}{2}\;\;\;⇒\;\;\;C=60°$…（6分）
（2）$\overrightarrow{CA}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=abcosC=18\;\;⇒\;\;ab=36$…（8分）
又∵2sinC=sinA+sinB⇒2c=a+b，
∴c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC
⇒c²=4c²-3ab
⇒c²=36
⇒c=6…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．