Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，

m

=(an+1，-1)，

n

=(an+1，-1)，又

m

⊥

n

，則a₂₀₀₉=（　�。�

• A．2
• B．-

  1

  3

• C．-

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：先根據(jù)

m

⊥

n

，利用數(shù)量積為0建立等式，得到遞推關(guān)系，求出a₂、a₃、a₄的值，可得到數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，再由2009=3×669+2可得到a₂₀₀₉=a₂求出答案．

解答：解：∵

m

=(an+1，-1)，

n

=(an+1，-1)，又

m

⊥

n

，
∴a_n+1•（a_n+1）+1=0即a_n+1=-

1

an+1

，
：∵a₁=2，a_n+1=-

1

an+1

，∴a₂=-

1

a1+1

=-

1

3

，a3=-

1

a2+1

=-

3

2

，a4=-

1

a3+1

=2，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列
∵2009=3×669+2
a₂₀₀₉=a2=-

1

3

故選B．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用和數(shù)列周期的應(yīng)用，同時(shí)考查了向量垂直和數(shù)量積的關(guān)系，屬于中檔題．