Question

3．證明：若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 利用反證法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果即可．

解答 證明：假設(shè)方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根α，β，
即f（α）=f（β）=0．
不妨設(shè)α＜β，
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，故f（α）＜f（β），
這與f（α）=f（β）=0矛盾，
所以方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理以及反證法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．