Question

如圖，三棱錐P-ABC中，平面PBC丄平面ABC，△PBC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中點(diǎn)．
（I ）求證：AC丄 PB；
（II）求二面角C-PA-M的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形可以由平面PBC丄平面ABC證明AC⊥面PBC，再有線面垂直的定義得出AC丄 PB；
（II）可建立空間坐標(biāo)系求解二面角，如圖建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz，其中M為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面MPA的法向量與平面CAP的方向向量，由公式求出兩平面夾角的余弦值，再用反三角函數(shù)表示出二面角C-PA-M的大小

解答：解：（I）∵面PBC⊥面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥面PBC，∴AC⊥PB
（II）用向量法求解：作PM⊥BC，垂足為M，在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥BC垂足為M，∵平面PBC丄平面ABC，PM，MQ，BC兩兩垂直，如圖建立空間坐標(biāo)系M-xyz，其中M為坐標(biāo)原點(diǎn)．
∵三角形PBC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，，∠ABC=90°，∠BAC=30°，M是BC的中點(diǎn)，
∴A（

a

2

，

3

a，0）P（0，0，

3

2

a），C（

a

2

，0，0），
∴

CA

=(0，

3

a，0 )，

CP

=(-

a

2

，0，

3

2

a)，

MA

=(

a

2

，

3

a，0)，

MP

=(0，0，

3 a

2

)
設(shè)平面MPA的法向量為

m

=(x，y，z)，∴

m • MA =0 m • MP =0

解得

x=-2 3 y z=0

不妨令y=

3

，則

m

=(-6，

3

，0)
設(shè)平面CAP的方向向量為

n

=(p，q，r)∴

n • CA =0 n • CP =0

，解得

y=0 x= 3 z

不妨令z=

3

，則

n

=(3，0，

3

)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m || n |

=-

3 13

13

∴二面角的大小是arccos

3 13

13

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量求二面角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把難度比較大的二面角的求法，轉(zhuǎn)化成了數(shù)字的運(yùn)算．由于運(yùn)算量大易因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)．