Question

（2013•房山區(qū)二模）小明從家到學(xué)校有兩條路線，路線1上有三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為

1

2

；路線2上有兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

3

4

，

4

5

．
（Ⅰ）若小明上學(xué)走路線1，求最多遇到1次紅燈的概率；
（Ⅱ）若小明上學(xué)走路線2，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到紅燈次數(shù)越少為越好”的標(biāo)準(zhǔn)，請(qǐng)你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學(xué)路線，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）走路線1最多遇到1次紅燈為事件A，分為兩種情況，一種是3次都沒(méi)有遇到紅燈，一種是只有一次遇到紅燈，可知A～B(3，

1

2

)，計(jì)算出即可；
（Ⅱ）由題意可得，X可能取值為0，1，2．利用獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式和互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出概率，再利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可；
（Ⅲ）設(shè)選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為ξ，則ξ～B（3，

1

2

），利用公式計(jì)算出Eξ與EX比較即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)走路線1最多遇到1次紅燈為事件A，則
P（A）=

C

0 3

×(

1

2

)3+

C

1 3

×

1

2

×(

1

2

)2=

1

2

．
（Ⅱ）由題意可得，X可能取值為0，1，2．
∴P（X=0）=(1-

3

4

)×(1-

4

5

)=

1

20

，
P（X=1）=

3

4

×(1-

4

5

)+(1-

3

4

)×

4

5

=

7

20

，
P（X=2）=

3

4

×

4

5

=

3

5

．
∴隨機(jī)變量X的分布列為
遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

20

+1×

7

20

+2×

3

5

=

31

20

．
（Ⅲ）設(shè)選擇路線1遇到紅燈次數(shù)為ξ，則ξ～B（3，

1

2

），
∴Eξ=3×

1

2

=

3

2

．
∵Eξ＜EX，∴選擇路線1上學(xué)最好．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、互斥事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、分類討論思想方法、二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．