Question

設(shè)動(dòng)圓：（x-cosθ）²+（y+cosθ-sinθ）²=（2cos³θ-cosθ-sinθ+4）²（θ∈R）的圓心軌跡為曲線C，這些動(dòng)圓所覆蓋的區(qū)域記為區(qū)域D．
（Ⅰ） 求曲線C的最高點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ） 求區(qū)域D的最高點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，圓心的縱坐標(biāo)為y=sinθ-cosθ，利用輔助角公式化簡(jiǎn)，求出函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）區(qū)域D的最高點(diǎn)坐標(biāo)，即求圓心的縱坐標(biāo)與半徑和的最大值，利用導(dǎo)數(shù)法可求．

解答：解：（Ⅰ）由題意，曲線C：

y=sinθ-cosθ x=cosθ

則y=sinθ-cosθ=

2

(

2

2

sinθ-

2

2

cosθ)=

2

sin(θ-

π

4

)  …（4分）
∴θ-

π

4

=2kπ+

π

2

時(shí)，y取最大值

2

，此時(shí)θ=2kπ+

3π

4

，cosθ=-

2

2

，
∴最高點(diǎn)坐標(biāo)為(-

2

2

，

2

)；            …（6分）
（Ⅱ）∵2cos³θ-cosθ-sinθ+4=2cos3θ-

2

sin(θ+

π

4

)+4＞0…（7分）
∴y=sinθ-cosθ+2cos³θ-cosθ-sinθ+4=2cos³θ-cosθ+4        …（9分）
令t=cosθ∈[-1，1]，則y=2t³-2t+4   
由y'=6t²-2=0得t=±

3

3

則

x	-1	(-1，- 3 3 )	- 3 3	(- 3 3 ， 3 3 )	3 3	( 3 3 ，1)	1
y'		+	0	-	0	+
y	4	增	4 3 9 +4	減	- 4 3 9 +4	增	4

∴最高點(diǎn)為(-

3

3

，

4 3

9

+4)                      …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)