Question

設(shè)動(dòng)圓：（x-cosθ）²+（y+cosθ-sinθ）²=（2cos³θ-cosθ-sinθ+4）²（θ∈R）的圓心軌跡為曲線C，這些動(dòng)圓所覆蓋的區(qū)域記為區(qū)域D．
（Ⅰ） 求曲線C的最高點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ） 求區(qū)域D的最高點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，曲線C：
則y=sinθ-cosθ== …（4分）
∴時(shí)，y取最大值，此時(shí)，，
∴最高點(diǎn)坐標(biāo)為； …（6分）
（Ⅱ）∵2cos³θ-cosθ-sinθ+4=…（7分）
∴y=sinθ-cosθ+2cos³θ-cosθ-sinθ+4=2cos³θ-cosθ+4 …（9分）
令t=cosθ∈[-1，1]，則y=2t³-2t+4
由y'=6t²-2=0得則

x	-1						1
y'		+	0	-	0	+
y	4	增		減		增	4

∴最高點(diǎn)為 …（12分）
分析：（Ⅰ）由題意，圓心的縱坐標(biāo)為y=sinθ-cosθ，利用輔助角公式化簡，求出函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）區(qū)域D的最高點(diǎn)坐標(biāo)，即求圓心的縱坐標(biāo)與半徑和的最大值，利用導(dǎo)數(shù)法可求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角函數(shù)的化簡，考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，綜合性強(qiáng)