Question

12、若函數f（x）是定義在R上的偶函數，在（-∞，0]上是減函數，且f（-3）=0，則使得x[f（x）+f（-x）]＜0的x的取值范圍是

（-∞，-3）∪（0，3）

．

Answer 1

分析：由f（x）是定義在R上的偶函數，將x[f（x）+f（-x）]＜0轉化為xf（x）＜0，再根據在（-∞，0]上是減函數，且f（-3）=0
用特殊圖象法來求解．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數
∴f（x）+f（-x）=2f（x）
∴x[f（x）+f（-x）]＜0
轉化為：xf（x）＜0
又∵在（-∞，0]上是減函數，且f（-3）=0
可作出一個滿足函數的圖象：
如圖所示：x[f（x）+f（-x）]＜0的x的取值范圍是：（-∞，-3）∪（0，3）
故答案為：（-∞，-3）∪（0，3）

點評：本題主要考查函數的奇偶性與單調性的綜合運用，還考查學生的轉化能力，數形結合的能力．