Question

有如下結(jié)論：“圓x²+y²=r²上一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為x₀y+y₀y=r²”，類比也有結(jié)論：“橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為

x   0 x

a2

+

y0y

b2

=1”，過橢圓C：

x2

4

+y2=1的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時，求△ABM的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，及2個切點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓方程寫出切線方程，把M的坐標(biāo)代入切線方程，得到2個切點(diǎn)所在的直線方程，把右焦點(diǎn)坐標(biāo)代入檢驗(yàn)．
（2）把AB的方程代入橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，求出2根之和、2根之積，用弦長公式求弦長|AB|，再求出M 到AB的距離d，計算面積．

解答：解：
（1）設(shè)M(

4 3

3

，t)(t∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則MA的方程為

x1x

4

+y1y=1
∵點(diǎn)M在MA上∴

3

3

x1+ty1=1，同理可得

3

3

x2+ty2=1②（3分）
由①②知AB的方程為

3

3

x+ty=1，即x=

3

(1-ty)（4分）
易知右焦點(diǎn)F（

3

，0）滿足③式，（5分）
故AB恒過橢圓C的右焦點(diǎn)F（

3

，0）（6分）
（2）把AB的方程 x=

3

（1-y）代入橢圓化簡得，7y²-6y-1=0，
y₁+y₂=

6

7

，y₁•y₂=-

1

7

∴|AB|=

1+ 1 k2

•|y₁-y₂|=

1+3

•

36+28

7

=

16

7

，
又M 到AB的距離d=

| 4 3 3 |

1+3

=

2 3

3

，
△ABM的面積 S=

1

2

•|AB|•d=

16 3

21

．

點(diǎn)評：本題考查直線過定點(diǎn)、弦長公式、及點(diǎn)到直線的距離公式．